Bachelor-Lehrvortrag

Das Solow-Modell

Vom Steady State zur Goldenen Regel

Gregor Böhl

Kapitalakkumulation Konsum Goldene Regel
Vorwissen & Fahrplan

Was vorausgesetzt wird

Voraussetzung

  • Das Solow-Modell wurde schon einmal behandelt.
  • Wir wiederholen nur die Mechanik, die gleich gebraucht wird.
  • Keine vollständige Herleitung.

Fahrplan

  1. Wiederholung des Solow-Modells
  2. Konsum statt Output
  3. Goldene Regel

Leitfrage: Welches Kapitalniveau maximiert langfristig Konsum?

1 · Wiederholung

Steady State im Solow-Modell

Produktion
\(y=f(k)\)
Investition
\(s f(k)\)
Kapitalerhalt
\((n+\delta)k\)
Steady State
\(s f(k^*)=(n+\delta)k^*\)
Solow growth model steady-state diagram
Quelle: Wikimedia Commons, 3'jane, CC BY-SA 2.5
2 · Vom Output zum Konsum

Eine höhere Sparquote ist nicht automatisch besser

Konsum

\(c^*\) \(=\) \((1-s)f(k^*)\)
\(=\) \(f(k^*)-s f(k^*)\)
\(=\) \(f(k^*)-(n+\delta)k^*\)
Produktion
\(y=f(k)\)
Investition
\(s f(k)\)
Kapitalerhalt
\((n+\delta)k\)
Steady State
\(s f(k^*)=(n+\delta)k^*\)
3 · Goldene Regel

Welche Sparquote maximiert Konsum?

Golden Rule Solow model diagram
Quelle: Wikimedia Commons, JonskiC, CC BY-SA 4.0
\[ \underbrace{c(k)}_{\text{Konsum}} = \underbrace{f(k)}_{\text{Output}} - \underbrace{(n+\delta)k}_{\text{Kapitalerhalt}} \]
  • Konsum ist Differenz zwischen Produktion und Kapitalerhalt.
  • Gesucht: größter Abstand in der Grafik.
Maximiere Konsum
\[ \max_k\, c(k)=f(k)-(n+\delta)k \]
FOC: \[ f'(k^{\mathrm{gold}})=n+\delta \]
4 · Interpretation

Nicht jede Kapitalakkumulation ist gut

Goldene Regel: \(f'(k^{\mathrm{gold}})=n+\delta\)

„Grenzproduktivität gleich Kapitalerhalt“

Unterhalb von \(k^{\mathrm{gold}}\)

  • \(f'(k)>n+\delta\): Kapital ist knapp.
  • Eine zusätzliche Einheit Kapital erzeugt mehr Output, als ihr Erhalt kostet.

\(\Rightarrow\)Mehr Sparen kann langfristig Konsum erhöhen.

Oberhalb von \(k^{\mathrm{gold}}\)

  • \(f'(k)<n+\delta\): Kapital ist reichlich.
  • Zusätzliches Kapital bringt weniger Output, als sein Erhalt bindet.

\(\Rightarrow\)Weniger Sparen kann Konsum heute und dauerhaft erhöhen.

5 · Zusammenfassung

Was Sie mitnehmen sollten

  1. Im Steady State decken Investitionen den Kapitalerhalt: \(s f(k^*)=(n+\delta)k^*\).
  2. Die Goldene Regel wählt das Kapitalniveau mit maximalem dauerhaft möglichen Konsum: \(f'(k^{\mathrm{gold}})=n+\delta\).
  3. Ausblick: Endogenes Sparen über dynamische Nutzenoptimierung.

VIELEN DANK